1. Udowodnij, ze równanie x2+y2−z2=1997 ma nieskończenie wiele...

1. Udowodnij, ze równanie x2+y2−z2=1997 ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach całkowitych.
2. W kwadracie ABCD punkty K i M należą odpowiednio do boków BC i CD, przy czym AM jest dwusieczną kąta KAD. Udowodnij, że długość odcinka AK równa jest sumie długości odcinków DM i BK.
3. Niech a i b będą danymi bokami trójkąta. Należy znaleźć bok c, tak aby punkty styczności okręgów wpisanego i dopisanego leżące na boku c dzieliły ten bok na trzy równe części. Dla jakich wartości a i b można to uczynić?
4. Udowodnij, że równanie xy(x−y)+yz(y−z)+zx(z−x)=6 ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach całkowitych.
5. Niech ciąg będzie zdefiniowany następująco: x1=19; x2=97; xn+2=xn−1/xn+1 Udowodnij, że wśród elementów ciągu można znaleźć wartość 0. Na jakiej pozycji ta wartość się znajduje?
6. Na szachownicy o wymiarach 5x5 rozstawiono maksymalną liczbę skoczków, tak aby nie biły się wzajemnie. Udowodnij, że istnieje tylko jeden sposób takiego rozstawienia.
7. W trójkącie ABC punkt M jest środkiem boku BC. Należy skonstruować odcinek równoległy do BC o końcach odpowiednio na bokach AB i AC, tak aby z punktu M odcinek ten, był widoczny pod kątem prostym.
8. Dwa okręgi przecinają się w punktach A i B. Weźmy styczną do tych okręgów leżącą bliżej punktu B. Pierwszy okrąg jest do niej styczny w punkcie C, drugi w punkcie D. Prosta CB przecina drugi okrąg w punktach B i E. Udowodnij, że AD jest dwusieczną kąta CAE.
9. Niech CM i BN będą środkowymi trójkąta ABC. Punkty P i Q leżące odpowiednio na bokach AB i AC, są tak dobrane, że dwusieczna kąta C jest również dwusieczną kąta MCP a dwusieczna kąta B jest jednocześnie dwusieczną kąta NBQ. Czy z równości odcinków AP=AQ wynika, ze trójkąt ABC jest trójkątem równobocznym?
10. Tworzymy iloczyn wyrażeń postaci ±√1, ±√2,...,±√99, ±√100 (przy wszelkich możliwych kombinacjach znaków ±). Udowodnij, że w ten sposób otrzymamy:
a) liczbę całkowitą,
b) kwadrat liczby całkowitej.
11. Zsumujmy iloczyny cyfr wszystkich liczb trzycyfrowych (jeżeli w liczbie występuje 0, to oczywiście iloczyn jej cyfr wynosi 0). Ile wynosi otrzymana liczba?
12. Baron Münchhausen twierdzi, że może rozciąć trójkąt równoboczny na trzy takie trójkąty, że z każdych dwóch z nich można złożyć inny trójkąt równoboczny. Czy to nie są tylko przechwałki?
13. Baron Münchhausen twierdzi, że udało mu się złożyć pewien prostokąt z pewnej ilości podobnych do siebie trójkątów nieprostokątnych. Czy można wierzyć baronowi?
14. Iloma najwięcej kolorami można pomalować szachownicę 8x8, tak aby każde pole graniczyło bokiem z dwoma polami w jego kolorze?
15. Liczby dodatnie A, B, C, D są tak dobrane, że układ równań: x2+y2=A i |x|+|y|=B ma m rozwiązań a układ równań x2+y2+z2=C i |x|+|y|+|z|=D ma n rozwiązań. Wiadomo, że m>n>1. Znajdź m i n?
16. Udowodnij nierówność: a3/(a2+ab+b2) + b3/(b2+bc+c2) + c3/(c2+ca+a2) ≥ (a+b+c)/3 gdzie liczby a, b, c są dodatnie.
17. Na tablicy wypisano liczby 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128. Ścieramy dowolne dwie z nich i wstawiamy ich różnicę (od większej odejmujemy mniejszą). Po siedmiu takich operacjach na tablicy zostanie tylko jedna liczba. Czy tą liczbą może być 97?
18. Na tablicy wypisano liczby 1, 22, 23,..., 210. Ścieramy dowolne dwie z nich i wstawiamy ich różnicę. Po pewnej liczbie takich operacji na tablicy pozostanie tylko jedna liczba. Jaka to liczba?
19. Kwadrat liczby całkowitej jest postaci ...09 (kończy się grupą cyfr 09). Proszę udowodnić, że cyfra stojąca na pozycji setek w tej liczbie jest parzysta.
20. W trójkącie ABC punkty A', B', C' leżą odpowiednio na bokach BC, CA i AB. Wiadomo, że zachodzi równość kątów: ‹AC'B' = ‹B'A'C, ‹CB'A' = ‹A'C'B, ‹BA'C' = ‹C'B'A. Proszę udowodnić, że punkty A', B', C' są środkami boków.
21. Na szachownicy oznaczono 17 pól. Proszę udowodnić, że można z nich wybrać dwa, w taki sposób, żeby skoczek potrzebował co najmniej 3 ruchów aby z jednego z tych pól dojść do drugiego.
22. Z przedziału wybieramy 20 liczb tak, aby zachodziła równość:
x1x2...x20=(1-x1)(1-x2)...(1-x20)
Należy znaleźć wśród tych liczb, taki zbiór, dla którego iloczyn x1x2...x20 jest maksymalny.
23. Niech a, b będą liczbami naturalnymi. Proszę udowodnić, że jeżeli NWW(a,a+5)=NWW(b,b+5) to a=b.
24. Igor i Walenty mają narysowane białe kwadraty złożone z 64 kratek. Każdy z chłopców zamalowuje jednakową ilość kratek na kolor niebieski. Należy udowodnić, że każdy z kwadratów da się pociąć na prostokąty 2x1 w taki sposób, że z tych kawałków chłopcy mogą złożyć ponownie kwadraty 8x8 z takim samym niebieskim wzorem.
25. W prawidłowym 25-kącie narysowano wszystkie przekątne. Należy udowodnić, że nie wybierze się 9 z tych przekątnych, które przejdą przez 1 wspólny punkt tego 25-kąta.

"KONKURS MIAST" !!!
Proszę o wytłumaczenie przynajmniej części zadań ! (Mogą być również etapy rozumowania, niekoniecznie całe rozwiązania).

Rozwiązania (0)