zad.5/208 matematyka poznać zrozumieć przykład b) {mx+ny=12 ...

Obliczanie pola trójkąta w przestrzeni mając dane trzy wierzchołki A(x1.y1.z1) , B(x2.y2.z2) , C(x3.y3,z3) Przyjęto: A(2,6,4) , B(3,1,6) , C(8,8,2) Sposób 1 – oparty na wzorze P = 1/2*a*b*sin(γ) → → m = AB = [x2 – x1,y2 – y1,z2 – z1] n = AC = [x3 – x1,y3 – y1,z3 – z1] mx *nx + my*ny + mz*nz cos(γ) = ––––––––––––––––––––––––––––––––––––– √mx2 + my2 + mz2*√nx2 + ny2 + nz2 sin(γ) = √1 – cos2(γ) P = 1/2*|AB|*|AC|*sin(γ) =================================== → → m = AB = [1,–5,2] n = AC = [6,2,–2] |m| = √12 + (–5)2 + 22 = √30 |n| = √62 + 22 + (–2)2 = √44 = 2*√11 cos(γ) = (1*6 – 5*2 + 2*(–2))/( √30*2*√11) cos(γ) = –4/√330 sin(γ) = √1 – 16/330 =√314/√330 P = 1/2*√30*2√11*√314/√330 = √314 Odp. P = √314 Sposób 2 – wzorem Herona P = √p*(p – a)*(p – b)*(p – c) gdzie p = (a + b + c)/2 a = √30 , b = 2√11 , c = 2√35 p = (√30 + 2√11 + 2√35)/2 p – a = p – √30 = (–√30 + 2*√11 + 2√35)/2 p – b = p – 2*√11 = (√30 – 2*√11 + 2*√35)/2 p – c = p – 2*√35 = (√30 + 2*√11 – 2*√35)/2 P = √314 Sposób 3 – rzutując trójkąt na płaszczyzny układu | x1 y1 1| | x1 z1 1 | | y1 z1 1| Pxy = 1/2| x2 y2 1| Pyz = 1/2| x2 z2 1 | Pxz = 1/2| y2 z2 1| |x3 y3 1 | | x3 z3 1 | | y3 z3 1| P = √Pxy2 + Pyz2 + Pxz2 |2 6 1| |2 4 1| |6 4 1| Pxy = 1/2|3 1 1| = 16 Pyz = 1/2|3 6 1| = –7 Pxz = 1/2|1 6 1| = 3 |8 8 1| |8 2 1| |8 2 1| P = √162 + (–7)2 + 32 = √314 Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach w punktach A(1,2,1), B(2,1,–1) i C(0,1,2). → → AB = [1,–1,–2] AC = [–1,–1,1] → → | i j k | ABxAC = | 1 –1 –2 | = [–3,1,–2] | –1 –1 1 | P(trABC) = 1/2|ABxAC| = 1/2*√ (–3)2 + 12 + (–2)2 = 1/2*√14 By otrzymać równanie płaszczyzny należy skorzystać z ogólnego równania płaszczyzny A*x + B*y + C*z + 1 = 0 i na miejsce x,y,z podstawić współrzędne punktów danych. Po rozwiązaniu układu trzech równań z trzema niewiadomymi uzyska się poszukiwane wartości A,B i C