trygonometria Napisz w najprostszej postaci (1-sin a)(1+sin a)

Tu trochę zależy co dla kogo jest prostsze - sprawa dyskusyjna.
Ale może uda się zrobić coś obiektywnie prostszego.
Zacznimy od tego, że cokolwiek nie znaczy napis "sin a" to na pewno wzór
(1 - sin a)(1 + sin a)
pasuje do jednego z wzorów skróconego mnożenia, tzn wygląda bardzo podobnie do napisu (x-y)(x+y), jeśli tylko przyjmiemy że x=1, zaś y=sin a.
Wg tego wzoru jest (x-y)(x+y)=x^2-y^2.
Czyli w naszej sytuacji będzie to :
(1 - sin a)(1 + sin a) = 1^2 - (sin a)^2
Jedynka podniesiona do kwadratu to po prostu 1.
Mamy więc:
(1 - sin a)(1 + sin a) = 1 - (sin a)^2
Czy to jest prościej - sprawa dyskusyjna. Ale możemy jeszcze trochę pokombinować.
Jest taki wzór który nazywa się "jedynką trygonometryczną" który wygląda tak:
(sin a)^2 + (cos a)^2 = 1
(Ten wzór to nic mądrego: ot, zwykłe Twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta o przeciwprostokątnej o długości jeden).
Z tej jedynki trygonometrycznej można poprzez przenoszenie stronami wywnioskować z niego inny wzór:
1 - (sin a)^2 = (cos a)^2
... i to się nam może przydać, bo uzyskamy wtedy:
(1 - sin a)(1 + sin a) = (cos a)^2
Czy to jest prościej? Hm.. no to nadal sprawa dyskusyjna, bo zależy jak bardzo skomplikowane wydaje się komuś podnoszenie do kwadatu.
Zawsze można to jednak zapisać tak:
(1 - sin a)(1 + sin a) = (cos a)(cos a)
...wtedy chyba widać, że prawa strona jest prostsza od lewej, bo zawiera tyle samo mnożeń (jedno) za to mniej dodadawań, mniej odejmować i mniej jedynek.

Nadal może się znaleźć ktoś, kto się będzie jednak upierał, że dla niego cosinus jest pojęciem bardziej skomplikowanym niż sinus, (np. jakiś językoznawca, który będzie stał na stanowisku że "cosinus" wywodzi się z przedrostka "co" i trzonu "sinus" jest więc konceptem bardziej skomplikowanym:D).

Pozostaje jeszcze filozoficzna kwestia czy napis (1 - sin a)(1 + sin a) i napis (cos a)^2 to w istocie ten sam byt tylko zapisany w bardziej skomplikowany sposób, czy też to zupełnie inny byt, który tak się akurat składa ma tę samą wartość - innymi słowy: co to znaczy "postać" itd.

Jak dla mnie najprostsza postać zapisania (1 - sin a)(1 + sin a) to "$ a" gdyż albowiem niniejszym postanawiam zdefiniować symbol $ tak by był równy kwadratowi z cosinusa. Mniej niż jednego symbolu raczej nie da się użyć, więc wygrałem. Jeśli komuś się nie podoba takie rozwiązanie, to pytanie jak sformalizować zasady tego konkursu, tak by wykluczyć takie nadużycia. To jest akurat całkiem ciekawy temat i polecam poczytać sobie o złożoności Kołmogorowa.