Używamy technologii takich jak pliki cookie do przechowywania i/lub uzyskiwania dostępu do informacji o urządzeniu. Robimy to, aby poprawić jakość przeglądania i wyświetlać spersonalizowane reklamy. Zgoda na te technologie pozwoli nam przetwarzać dane, takie jak zachowanie podczas przeglądania lub unikalne identyfikatory na tej stronie. Brak zgody lub wycofanie zgody może negatywnie wpłynąć na niektóre cechy i funkcje. Informujemy, że istnieje możliwość określenia przez użytkownika serwisu warunków przechowywania lub uzyskiwania dostępu do informacji zawartych w plikach cookies za pomocą ustawień przeglądarki lub konfiguracji usługi. Szczegółowe informacje na ten temat dostępne są u producenta przeglądarki, u dostawcy usługi dostępu do Internetu oraz w Polityce prywatności plików cookies

Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.

Rozwiaż równanie: a) (1-x)^2=x3+3x^2+1 b)...

Autor: Bartos13, 2016-08-01 13:38:11
Dodaj do:
Rozwiaż równanie:
a) (1-x)^2=x3+3x^2+1
b) -x^2+9x-18=(2x-1)^2
c) 5-(4-x)^2=6x-x^2-4
d) x+5√ x+6=0

Rozwiązania (1)

Autor: qbolec z MatMat.edu.pl
7
dodano: 2016-08-14 00:44:18
Rozumiem, że to są w zasadzie 4 osobne zadania. W zasadzie są do siebie dość podobne oprócz d), w którym występuje pierwiastek.
Zacznę więc od tego ostatniego, bo jest najciekawsze.
W zadaniach gdzie występuje pierwiastek, dobrze jest zacząć od pozbycia się go jakoś, bo łatwiej rozwiązuje się równania liniowe lub kwadratowe.
Jeden ze sposobów by się pozbyć takiego pierwiastka, to tak poprzerzucać wyrazy na lewo i prawo, by pierwiastek został sam po jednej stronie równania, po czym podnieść obie strony do kwadratu (podniesienie do kwadratu anihiluje pierwiastkowanie).
Czyli z x+5√ x+6=0 robimy najpierw
5√ x= - x - 6 a potem podnismy obie strony do kwadratu i wychodzi nam:
25x = (-x-6)^2
W takich sytuacjach (tj. gdy podnosimy obie strony do kwadratu) powinna nam się zapalać w głowie czerwona lampka, że to nie jest do końca bezpieczne, bo nowe równanie które otrzymamy nie jest dokładnie równoważne poprzedniemu (zachodzi implikacja w jedną stronę, tzn nowe równanie wynika ze starego, ale stare nie wynika z nowego).
W takich sytuacjach warto jest to odpowiednio odnotować, żeby sprawdzający zadanie widział, że ogarniamy sytuację, no i warto na koniec sprawdzić, że rozwiązanie nowego równania, które znajdziemy (o ile je znajdziemy) pasuje też do starego równania. W przypadku pierwiastkowania znaczy to tyle, że trzeba na koniec upewnić się, że liczba pod pierwiastkiem nie jest ujemna (no chyba, że ktoś prosił nas o liczenie na liczbach zespolonych, ale tego tematu się nie podejmuję). Wracając do zadania:
25x = (-x-6)^2
jak takie coś rozwiązać? Generalnie można się spodziewać, że uzyskamy coś w stylu ax^2+bx+c=0. Wszystkie zadania a),b),c) i także d) pasują do tego szablonu i widać to od razu, bo nigdzie nie występuje x w potędze wyższej niż 2. Wystarczy tylko poprzerzucać rzeczy z lewa na prawo i dopasować do tego wzoru:
25x = (-x-6)^2 (pozwolę to sobie rozpisać łopatologicznie krok po kroku)
25x = (-(x+6))^2
25x = ((-1)*(x+6))^2
25x = (-1)^2 * (x+6)^2
25x = 1*(x+6)^2
25x = (x+6)^2
25x = x^2+36+12x
0 = x^2+36-13x
x^2-13x+36=0
a=1, b=-13,c=36
No i teraz możemy np. użyć wzoru na deltę itd. Może się okazać, że delta jest ujemna i wtedy to równanie nie ma rozwiązań (a wtedy tym bardziej to stare ich nie miało). Może się okazać, że jest równa zero i wtedy jest jakieś rozwiązanie (musimy tylko w przypadku zadania d pamiętać by sprawdzić czy pasuje do starego równania, tj czy jest nieujemne). Może się okazać, że delta jest dodatnia i mamy wtedy dwa rozwiązania (i znów musimy odfiltrować ujemne, w przypadku zadania d).
Jak ktoś ma słabą pamięć do wzorów na deltę itp. to może spróbować zrobić to
"ręcznie" poprzez "zwijanie wzorów skróconego mnożenia".
Technika ta polega na wpatrywanie się w napis x^2-13x+36=0 tak długo aż dopatrzymy się w nim czegoś podobnego do jakiegoś wzoru skróconego mnożenia. Ja np. widzę, że on wygląda dość podobnie do tego wzoru: (f-g)^2=f^2-2fg+g^2. Celowo używam literek f i g, a nie a,b, czy x i y, żeby się nie pomerdało z tymi występującymi we wzorze na deltę.
To podobieństwo widzę w tym, że "x^2" wygląda podobnie do "f^2" i że potem jest minus.
No to jeśli x^2 ma być podobne do f^2, zaś -13x ma być podobne do -2fg, to musiałoby być tak, że f to jest po prostu x, zaś 13 to 2g, czyli g=7.5.
Czyli x^2-13x+36 byłoby podobne do (x-7.5)^2.
Podobne, to nie znaczy dokładnie równe - dopasowałem tylko pierwsze dwa wyrazy, więc to byłby cud gdyby 36 magicznie pasowało do g^2, no i oczywiście nie pasuje, bo 7.5^2 to nie jest 36. Ale idea jest taka, by dopasować ten fragment, w którym występują iksy, a liczbami się nie przejmować.
No więc (x-7.5)^2= x^2-13x+7.5^2 = x^2-13x+(6+1.5)^2 = x^2-13x+36+3+1.5^2.
No a my chcemy, żeby było x^2-13x+36=0.
Czyli innymi słowy chcemy, żeby (x-7.5)^2 = 3+1.5^2. Widzisz to?
I co z tego? Ano to, że to jest całkiem proste równanie do rozwiązania: po prawej jest jakaś liczba, a po lewej coś podniesionego do kwadratu. Czyli możemy po prostu spierwiastkować obie strony i będziemy mieli wynik:
x-7.5 = √(3+1.5^2)
x = √(3+1.5^2)+7.5
I teraz tak: tutaj znowu powinna się była zaświecić czerwona lampka, że nie można sobie ot tak po prostu spierwiastkować obu stron równania i twierdzić, że to jest nadal to samo: te dwa równania nie są sobie równoważne. To co nam wyszło to jest tylko jedna z możliwości. Druga to taka, że lewa strona miała przeciwny znak:
-(x-7.5) = √(3+1.5^2)
-x+7.5 = √(3+1.5^2)
x=7.5-√(3+1.5^2)
Wypadałoby wyliczyć do końca te liczby po prawej (używając kalkulatora, bo to nie są ładne okrągłe liczby).
Jeśli ta metoda wydaje się Wam mocno przekomplikowana i czujecie, że powinno się dać prościej, to macie rację: to co opisałem powyżej to jest intuicyjne wyprowadzenie "metody z deltą" tylko używając chaupniczych metod. To podejście czasem (moim zdaniem bardzo rzadko) się jednak przydaje, np. wtedy gdy jakimś cudem wzór skróconego mnożenia pasuje idealnie.
Dodaj rozwiązanie
AEGEE - Logo
...