Po powierzchni wody pływa piłka tenisowa o promieniu 6cm zanurzona...

To zadanie można rozwiązać na trzy sposoby, ale wpierw warto zerknąć na grafikę którą tu opracowałem, a która wiele wyjaśnia:

http://img266.imageshack.us/img266/984/pilkatenisowa.gif

Dane:
r = 6 cm
h = 2 cm

Szukane:
a = ?





PIERWSZY SPOSÓB:
~~~~~~~~~~~~~~~~

Warto zauważyć, że promień piłki, odcinek "b" niezamoczonej części piłki oraz odcinek "a", będący promieniem okręgu będącego granicą mokrej części piłki tworzą TRÓJKĄT PROSTOKĄTNY, korzystając z Twierdzenia Pitagorasa: a² + b² = r²

Wpierw obliczamy "b":

b = r — h
b = 6 cm — 2 cm
b = 2 cm

Ponieważ szukamy, "a", zaś znamy "b" i "r", więc po prostym przekształceniu powyższego wzoru możemy już obliczyć szukany promień:

a² = r² — b²
a² = 6² — 4²
a² = 36 — 16
a² = 20
a = √20 cm
a = ~ 4.47 cm





DRUGI SPOSÓB:
~~~~~~~~~~~~~

Tym razem skorzystamy z Trygonometrii...

Wpierw obliczamy "b":

b = r — h
b = 6 cm — 2 cm
b = 2 cm

teraz wystarczy obliczyć wartość jednego kąta ostrego, np.

sin B = b : c
sin B = 4 : 6
sin B = ⅔
B = ~41.81°

No i szukane "a":

a = c ∙ cos B
a = 6 ∙ cos ( ~41.81°)
a = 6 ∙ 0.745...
a = ~ 4.47 cm




TRZECI SPOSÓB:
~~~~~~~~~~~~~~

Najmniej trywialny sposób rozwiązania...

...a jednocześnie najszybszy!


Warto zwrócić uwagę, że cześć "mokra" piłki, to nic innego jak tzw. CZASZA KULISTA.Występuje tu pewna zależność między wartością "h" (zwaną w tym przypadku strzałką czaszy,a szukanym promieniem podstawy czaszy kulistej, czyli "a":

a = √ [(2 ∙ r — h) ∙ h]

W tym sposobie, nie musimy obliczać np. wartości odcinka "b" — bowiem:

a = √ [(2 ∙ r — h) ∙ h]
a = √ [(2 ∙ 6 — 2) ∙ 2]
a = √ [(12 — 2) ∙ 2]
a = √ [(10) ∙ 2]
a = √20 cm
a = ~ 4.47 cm



Odp.: Promień okręgu oddzielającego suchą część powierzchni piłki od jej części mokrej wynosi √20 cm, tj. około 4.47 cm.