Oblicz sumę : 101+102+103+........+999

Można to zadanie zrobić tak, że zauważysz pewną prawidłowość: jak dodasz pierwszy i ostatni wyraz sumy 101+999 to wyjdzie Ci 1100, czyli tyle samo co jak dodasz drugi i drugi i przedostatni czy 102+998, lub trzeci i przed-przedostatni czyli 103+997.
Czyli jeden ze sposobów to połaczyć wszystko co się da w takie pary, policzyć ile jest par, pomnożyć liczbę tych par przez 1100 i już. Z rzeczy, które mogą tu pójść nietak :
1) może się okazać, że jakaś liczba zostanie bez pary (ta po środku)
2) można się pomylić podczas liczenia ile jest par
Na oba te problemy jest to samo rozwiązanie: policzyć precyzyjnie ile jest liczb w tej sumie.
Jest wiele różnych sposobów policzenia ile jest liczb naturalnych między 101 a 999 włącznie, tak by się nie pomylić.
To się może wydawać trywialne i głupie, ale to jest bardzo życiowy problem (kto próbował kiedyś rezerwować noclegi w hotelu, albo liczyć ile będą trwały wakacje ten wie o czym mówię), więc warto mieć to obcykane, by mieć w życiu łatwiej.
Ja to robię zawsze tak samo:
1) z grubsza pamiętam, że trzeba od jednego końca odjąć drugi i że być może trzeba dodać lub odjąc jedynkę (tyle umiem sobie przypomnieć nawet w środku nocy)
2) sprawdzam na jakimś bardzo prostym przykładzie która z tych trzech opcji zachodzi (tj. czy trzeba dodać jedynkę, odjąć jedynkę, czy nic nie robić).
Przez bardzo prosty przykład, mam na myśli najprostszy jaki się da czyli z jedną tylko liczbą.
Brzmi śmiesznie, co nie: "Ile jest liczb między 101 a 101 włącznie?" Oczywiście, że jedna. Ale jak to policzyć? 101-101 = 0, więc najwyraźniej do wyniku trzeba dodać 1, żeby było dobrze.
No więc metoda to: odjąć od jednego końca drugi i dodać jeden: 999-101+1 = 899.
(Jeśli się zastanawiacie czemu nie mogę sobie raz a dobrze do końca życia zapamiętać, że należy dodać jeden, to powiem Wam, że są jednak sytuacje w których nie należy tego robić, np. gdy próbujecie policzyć ile lat ma ktoś kto urodził się w 1988 roku jeśli jest 2016 rok: by się o tym przekonać można użyć tego samego tricku: w 1988 roku, tuż po urodzeniu miał przecież 0 lat czyli 1988-1988 i nie trzeba nic poprawiać!)
Ok, mamy więc 899 liczb w tej sumie, czyli nieparzyście wiele, czyli jedna zostanie bez pary, a oprócz tego par jest 898/2=449, czyli wynik to 449*1100 + ta liczba po środku.
Jaka liczba stoi po środku? No pewnie średnia arytmetyczna z 101 i 999 czyli 1100/2 = 550, więc wynik to 449*1100+550.

No ale jak już umiemy takie rzeczy jak "średnia arytmetyczna", to równie dobrze możemy od razu zrobić to zadanie "w cywilizowany sposób" - do tego przecież służy średnia arytmetyczna, żeby jej używać jako substytutu dla populacji gdy interesuje nas suma populacji (np. jeśli chcesz wiedzieć ile sumarycznie zarabiają wszystkie pielęgniarki, to wystarczy znać średnią pensję i liczbę pielęgniarek). Jeśli średnia to 550 a liczb jest 899 to wynik to 899*550.
Zauważcie, że te dwie metody muszą dać ten sam wynik, bo 899*550=(898+1)*550=(449*2+1)*550=449*1100+550.

No i stąd między innymi wynika wzór na sumę ciągu arytmetycznego: "pierwszy plus ostatni wyraz na dwa razy ostatani minus pierwszy plus jeden" to formułka którą można sobie wykuć na pamięć (mi się nigdy nie chciało) lub wywnioskować samemu: pierwsza część tej formułki mówi jak wyliczyć średnią arytmetyczną, a druga jak wyliczyć liczbę elementów!

Ten sam wzór można uzyskać jeszcze inaczej: pisząc pod tą sumą jej odbicie symetryczne :
101+102+103+...+999
999+998+997+...+101
------------------------------- (dodajemy stronami)
1100+1100+1100+...+1100
Widać, że po dodaniu stronami uzyskujemy 899 razy dodane do siebie 1100. I co z tego? Ano to, że dwa razy dodaliśmy do siebie ten sam ciąg tylko (zapisany od końca, ale dodawanie jest przemienne) więc jeśli podzielimy wynik na dwa, to uzyskamy to czego szukamy. Czyli wynik to 899*1100/2, czyli znów 899*550. Przypadek? Nie sądzę.